執筆者
K.S.
論理
一階述語論理(First-Order Predicate Logic)
現代の数学・哲学・人工知能などの基盤となる論理体系です。これは、命題論理(propositional logic)を拡張し、「対象(もの)」と「その性質」や「対象間の関係」を表現できるようにした形式論理の枠組みです。命題論理が「雨が降っている」「AならばBである」といった文全体の真偽を扱うのに対し、一階述語論理は「すべての人は死ぬ」「ある数xが素数である」など、変数と量化を伴うより精密な表現を可能にします。
命題論理との違い
まず、命題論理は「命題」を基本単位とする体系です。
命題は「真」か「偽」のどちらかの値を持ち、論理記号(¬, ∧, ∨, → など)によって結合されます。例えば、「雨が降っているなら地面が濡れている」という命題は、記号的に P→Qと書かれます。
しかし命題論理には限界があります。たとえば、「すべての人は死ぬ」「ソクラテスは人である」「ゆえにソクラテスは死ぬ」という三段論法のような推論は、命題論理では一般的に扱えません。なぜなら、「人」や「死ぬ」といった性質が命題論理では表現できないからです。
・命題論理
文全体の真偽を扱う P→Q のような記号表現
・述語論理
性質や関係を表現 ∀x(Human(x) → Mortal(x))
これを克服するのが述語論理です。一階述語論理では、「Human(x)」「Mortal(x)」といった述語を導入し、「∀x(Human(x) → Mortal(x))」という形で「すべてのxについて、人であるならば死ぬ」と表せます。こうして、命題論理よりも豊かな表現力と推論能力を獲得したのです。
述語論理の構造
一階述語論理の文は、基本的に次の要素から成り立ちます。
・個体変数
(x, y, z...) 対象を表す
・定数記号
(a, b, c...) 特定の対象を示す(例:ソクラテス)
・関数記号
(f, g, h...) 対象から対象への対応(例:Mother(x))
・述語記号
(P, Q, R...) 性質や関係(例:Human(x), Larger(x, y))
・量化記号
(∀, ∃) 普遍量化(すべての〜)と存在量化(ある〜が存在する)
➤これらを組み合わせることで、自然言語の命題を厳密に形式化することができます。
モデル（意味）と形式的証明（推論体系）
モデルと意味論
形式的な文が与えられたとき、それが「真」であるとはどういう意味でしょうか? 一階述語論理では、モデル(model)という概念を用いて文の意味を定義します。
モデルとは、次の2つから成ります
1.領域(ドメイン)
変数が取りうる対象の集合(例:人間全体、自然数全体など)
2.解釈(interpretation)
定数・関数・述語に具体的な意味を与える規則
具体例
例えば、「∀x(Human(x) → Mortal(x))」という文に対し、
・領域:すべての人間
・述語「Human(x)」=「xは人である」
・述語「Mortal(x)」=「xは死ぬ」
と解釈すれば、この文は現実世界で真になります。
つまり、文の「真偽」はモデルに依存して決まるのです。これを意味論的真理(semantic truth)と呼びます。
形式的証明と推論体系
一階述語論理は、単に「意味」だけでなく、「形式的証明(formal proof)」という機械的な推論手順でも構成されます。形式的証明とは、与えられた公理と推論規則を使って、純粋に記号操作だけで新しい文を導く過程です。
代表的な推論規則には次のようなものがあります
1.モーダス・ポネンス(Modus Ponens)
「P → Q」と「P」から「Q」を導く。
2.全称除去(Universal Instantiation)
「∀x P(x)」から「P(a)」を導く。
3.存在導入(Existential Introduction)
「P(a)」から「∃x P(x)」を導く。
定理と意義
健全性と完全性
一階述語論理には、二つの根本的な定理があります。
1.健全性定理(Soundness)
もし文φが形式的に証明可能であるならば、すべてのモデルにおいてφは真である。
つまり、証明は誤った結論を導かない。
2.完全性定理(Completeness)(ゲーデルによる証明)
もし文φがすべてのモデルで真であるならば、体系内で形式的に証明可能である。
つまり、真なる文はすべて証明できる。
➤この二つの定理により、一階述語論理は「意味」と「証明」の一致を保証する強力な体系であることが示されました。
一階述語論理の意義
一階述語論理は、数学の公理体系の形式化、コンピュータの自動定理証明、AIの知識表現など、現代科学の根幹を支えています。命題論理の「単純な真偽」から一歩進み、「対象・性質・関係・量化」を厳密に扱うことにより、世界の複雑な構造を論理的に記述できるのです。
※上記図解画像参照
そして、「健全性と完全性」という両輪のバランスの上に、私たちの理性的思考は成立しています。
