執筆者
K.S.
集合論は、土台・基礎的言語
集合論は、現代数学のほぼすべての分野の土台となっている理論です。
数、関数、図形、論理構造などは、一見ばらばらに見えますが、集合論の立場ではそれらすべてを「集合」として統一的に扱います。
その意味で集合論は、「数学の対象とは何か」を定義するための基礎言語だと言えます。
素朴集合論とは何か
集合論の出発点は、素朴集合論（naive set theory）です。
素朴集合論では、次のような直感的な考え方が採用されます。
「ある性質を満たすもの全体を集めたものが集合である」
◆偶数全体の集合
2, 4, 6, 8, … という性質を持つ数すべてを集めたもの
◆実数全体の集合
数直線上のすべての点に対応する数を集めたもの
◆犬であるもの全体の集合
「犬である」という性質を満たすすべての対象を集めたもの
この考え方は非常に分かりやすく、19世紀末まで数学者たちはこの直感に基づいて自由に集合を扱っていました。
しかし、この「何でも集合にできる」という考え方が、重大な矛盾を生み出します。
ラッセルのパラドックス
その矛盾を明確に示したのが、ラッセルのパラドックスです。次の集合を考えます。
「自分自身を要素として含まない集合すべての集合」—、これを R とします。
問い：R は自分自身を含むか？
✓もし R が自分自身を含むなら、「自分自身を含まない集合」という定義に反する
⇒含むと矛盾
✓もし R が自分自身を含まないなら、定義に合致するので含むべき
⇒やはり矛盾
という論理的破綻が生じます。
このパラドックスは、「任意の性質から集合を作れる」という素朴集合論の前提が誤りであることを示しました。
ここから、集合を作るルールそのものを厳密に制限する必要性が認識されます。
公理的集合論の登場
この問題を解決するために構築されたのが、公理的集合論です。
代表的なのが ZFC集合論（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）です。
01 素朴集合論の立場
「性質があるから集合が存在する」— 自由だが矛盾を生む
02 公理的集合論の立場
「公理で許された操作によってのみ集合が存在する」— 厳密で安全
◆公理的集合論が定めること
・どんな集合が存在してよいか
・集合をどう作ってよいか
◆排除される危険な集合
・「すべての集合の集合」
・「ラッセルの集合 R」
これらは最初から作れない仕組みになっています。
自然数を集合で表す
公理的集合論では、数そのものも集合として定義されます。
最も有名なのがフォン・ノイマンによる自然数の定義です。
0 = ∅（空集合）
1 = {0} = {∅}
2 = {0,1} = {∅,{∅}}
3 = {0,1,2}
一般に、
n = {0,1,2,…,n−1}
と定義されます。
この定義の利点は、
・順序の表現
集合の包含関係がそのまま数の大小関係に対応します。
・後者の表現
「次の数」も集合操作として自然に定義できます。
・包含関係の表現
すべてが集合論の言葉だけで完結します。
これらがすべて集合論だけで表現できる点にあります。
集合論が基礎であるという意味
足し算を集合で表す
自然数が集合として定義できるなら、足し算も集合操作として定義できます。
「後者」とは、ある集合 a に対し a ∪ {a} を作る操作のことです。
◆n + 1 の定義
「n に新しい要素を一つ追加すること」— すなわち n の後者として定義されます。
◆n + m の考え方
「n と m 個分の要素を持つ集合を結合すること」として直感的に理解できます。
◆再帰的定義による形式化
n + 1 = n の後者、そして n + (m の後者) = (n + m) の後者 と定義されます。
このように、算術演算ですら集合論の内部で構成可能であることが示されます。
数学の最も基本的な操作が、すべて集合という一つの概念に還元されるのです。
集合論が基礎であるという意味
集合論が数学の基礎であるとは、次の三つの意味を持ちます。
★数学的対象の統一的表現
数学的対象をすべて集合として表現できます。
数・関数・図形・論理構造、あらゆるものが集合の言葉で記述されます。
★推論の前提の明示化
推論の前提を公理として明示できます。何を仮定しているかが常に透明であり、議論の出発点が明確になります。
★矛盾の厳密な管理
矛盾がどこから生じるかを厳密に管理できます。
ラッセルのパラドックスが示したように、直感だけに頼ると論理は破綻します。
数学の基礎とは、自由さと制約のバランスの上に成り立っているのです。
